内部エネルギー - 廃人になれなかった人のために

波動関数の時間発展を計算するときに使う積分公式

$\int \exp{(-\alpha x^2+2ib\alpha x)}dx=\exp{(-\alpha b^2)}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

の証明

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図の積分経路C上で
$\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}$
は正則だから、コーシー・グルサの定理より
$0=\int_C\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz\\=(\int^{a}_{-a}+\int^{a+ib}_{a}+\int^{-a+ib}_{a+ib}+\int^{-a}_{-a+ib})\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz$ -----(1)

(1)式の第２項目について

$\int^{a+ib}_{a}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz\\=i\int^{b}_0\exp{(-a^2\alpha-2ia\alpha t+\alpha t^2+2iab\alpha-2b\alpha t)}dt$
ただし( $z=a+it$ とおく)
よって
$|\int^{a+ib}_{a}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz|\\ \leq \exp{(-a^2\alpha)}\int^b_0\exp{(\alpha t^2-2\alpha b t)}dt\\ \leq \exp{(-a^2\alpha)}\int^b_0\exp{(0)}dt\\=b\exp{(-a^2\alpha)}$
よって $a\rightarrow \infty$ のとき
$|\int^{a+ib}_{a}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz|\rightarrow0$
が言える。

(1)式の第４項目について

$z=-a+it$ とおいて、あとは２項目のときと同じように計算していくと
$|\int^{-a}_{-a+ib}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz|\\ \leq b\exp{(-a^2\alpha)}$
となり $a\rightarrow \infty$ のとき
$|\int^{-a}_{-a+ib}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz|\rightarrow0$
が言える。

(1)式の第３項目について

$z=t+ib$ とおくと
$\int^{-a+ib}_{a+ib}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz \\=\int^{-a}_{a}\exp{(-\alpha t^2-2ib\alpha t+b^2\alpha+2ib\alpha t-2b^2\alpha)}dt \\=\int^{-a}_a\exp{(-\alpha t^2+-b^2\alpha)}dt$
よって $a\rightarrow \infty$ のとき
$\int^{-a+ib}_{a+ib}\exp{(-\alpha z^2+2i\alpha b z)}dz =-\exp{(-b^2\alpha)}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

以上より、 $a\rightarrow \infty$ のとき

$\int \exp{(-\alpha x^2+2i\alpha b x)}dx+0+0-\exp{(-\alpha b^2)}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}=0$

よって

$\int \exp{(-\alpha x^2+2ib\alpha x)}dx=\exp{(-\alpha b^2)}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

がいえる。