複素関数ー特異点について - 廃人になれなかった人のために

特異点: $a$ を中心とする、ある円 $C$ の内部から中心 $a$ を除外して得られる領域で $f(z)$ は正則であることがわかっているとする。このような点 $a$ を関数 $f(z)$ の特異点という。

　点 $a$ が関数 $f(z)$ の $k$ 位の極であるとき、 $(z-a)^kf(z)$ は点 $a$ で正則である。また $f(z)$ が点 $a$ のある近傍で
$f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^k}$
と書けるとき、点 $a$ は $f(z)$ の $k$ 位の極である。ただし、 $g(z)$ は点 $a$ で正則な関数である。逆に、点 $a$ が $f(z)$ の $k$ 位の極であれば、 $f(z)$ は上の形に書ける。
　これに反して、 $f(z)$ の特異点 $a$ を中心とするローラン展開の負のベキの項の係数 $b_{-m}$ のうちで $0$ でないものが無限に多く存在する場合、その特異点 $a$ を $f(z)$ の真性特異点という。
　また、 $f(z)$ の特異点 $a$ を中心とするローラン展開が負のベキの項を持たないとき、この特異点を除去可能な特異点という。このとき、ローラン展開は
$f(z)=b_0+b_1(z-a)+b_2(z-a)^2+\cdots$
とできるから、これは有限確定な極限値
$\lim_{z\to a}f(z)=b_0$
が存在する。逆に、上の極限値が有限確定ならば、特異点 $a$ は除去可能である。