複素関数ー留数について(その1) - 廃人になれなかった人のために

　関数 $f(z)$ の特異点 $a$ を考える。 $a$ を含むある領域 $D$ は、 $a$ を除いて正則であるとする。 $D$ 内に正の向きを持ち、その内部に点 $a$ を含む単一閉曲線 $C$ を考える。このとき、
$Res[ f,a] =\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz$
を $f(z)$ の特異点 $a$ における留数という。なお、単一閉曲線の積分の公式から、右辺の積分は $C$ のとりかたによらない。

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　 $k$ 位の極 $a$ を中心とするローラン展開の係数を $b_k$ とすれば留数は
$Res[f,a]=b_{-1}$
である。
[証明]
ローラン級数におけるの正のベキの項の部分を $\varphi(z)$ とおけば、コーシーの定理により、
$\int_C\varphi(z)dz=0$
である。さらに点 $a$ が $C$ の内部にあるから
$\int_C\frac{1}{(z-a)^j}dz=0 \hspace{10mm} (j\neq1)$
$\int_C\frac{1}{(z-a)^j}dz=2\pi i \hspace{10mm} (j=1)$
がいえて、これらの積分を全て足せば
$b_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz$
となる。

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