ブラとケットの内積空間が、加えて完備性を持つとき、初めてヒルベルト空間に、つまり、量子力学の波動関数の空間になる。
ただの内積空間は、まだ完備性を持っていない。
完備性とは、たとえば、整数がもっていて、実数は持っていないようなもの。順に数えられるという性質のこと(でいいのかな)。
内積空間は、リーマン和の極限で定義される初等的な積分の定義を、ルベーグ積分で置き換えることによって完備になる(らしい)。
これらのことは量子力学を習うとき、詳しい説明なしに、暗黙の了解で使われていた。
今の量子力学があるのも、ヒルベルト空間のおかげなんだね！
